Representacion grafica del comportamiento cualitativo de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias en el espacio de estados. Para un sistema bidimensional (x', y') = F(x, y), el diagrama de fase muestra las trayectorias del sistema (orbitas), las isoclinas de cero (lugares donde x'=0 o y'=0), los puntos de equilibrio y su caracter de estabilidad (nodo, foco, centro o punto de silla). Es herramienta fundamental en macroeconomia dinamica (modelos de Ramsey, OLG, Solow) para analizar convergencia, ciclos y equilibrios multiples sin resolver explicitamente las ecuaciones.

Ecuacion que relaciona una funcion desconocida con sus derivadas respecto a una o mas variables independientes. Una EDO de primer orden F(t, x, x') = 0 describe la tasa de cambio de x en funcion de su nivel y el tiempo. Las EDO lineales con coeficientes constantes x' = ax + b tienen solucion general x(t) = Ce^{at} + x*, donde x* = -b/a es el equilibrio estacionario. En economia, las EDO modelan procesos de ajuste dinamico: acumulacion de capital (Solow), ecuacion de Euler (Ramsey), dinamica de precios (cobweb), y trayectorias optimas en control optimo.

Propiedad de un punto de equilibrio de un sistema dinamico que describe el comportamiento de las trayectorias en su vecindad. Un equilibrio x* es estable (en el sentido de Lyapunov) si trayectorias que parten cerca de el permanecen cercanas; es asintoticamente estable si ademas convergen a x* cuando t→∞. Para sistemas lineales x' = Ax, la estabilidad assintotica requiere que todos los valores propios de A tengan parte real negativa. En economia, el analisis de estabilidad determina si una economia converge a su estado estacionario (sendero de la silla en el modelo de Ramsey) o si exhibe dinamicas explosivas.

Una funcion T: X → X sobre un espacio metrico completo (X, d) es un mapeo de contraccion si existe c ∈ [0,1) tal que d(T(x), T(y)) ≤ c·d(x,y) para todo x,y ∈ X. El Teorema del Punto Fijo de Banach garantiza que T tiene un unico punto fijo x* = T(x*) y que la iteracion sucesiva T^n(x_0) converge a x* desde cualquier punto inicial. En economia dinamica y en la teoria de iteracion de la ecuacion de Bellman (programacion dinamica), el operador de Bellman es un mapeo de contraccion bajo el factor de descuento beta < 1, lo que garantiza existencia y unicidad de la funcion de valor.

Elemento x* de un espacio topologico tal que T(x*) = x*, es decir, la funcion T lo mapea sobre si mismo. El Teorema del Punto Fijo de Brouwer garantiza que toda funcion continua de un conjunto compacto y convexo en si mismo tiene al menos un punto fijo. El Teorema de Kakutani extiende este resultado a correspondencias (funciones multi-valuadas) semicontinuas superiores con valores convexos, siendo la herramienta fundamental para demostrar la existencia de equilibrios de Nash y equilibrios walrasianos competitivos. La iteracion de punto fijo es la base computacional de la programacion dinamica.