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UtilidadSlutsky

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Externalidades y Bienes Públicos

Fallas de mercado por externalidades, impuesto pigouviano, teorema de Coase y bienes públicos

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Conceptos formales

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Demanda Hicksiana (Demanda Compensada)

Micro

Funcion h(p,u) que asigna a cada vector de precios p y nivel de utilidad objetivo u la canasta de menor costo que alcanza exactamente ese nivel: h(p,u) = argmin_{x} {p·x : U(x) ≥ u}. Es homogenea de grado cero en p, y su matriz Jacobiana ∂h/∂p es simetrica y semidefinida negativa (matriz de Slutsky). Se obtiene como el gradiente de la funcion de gasto via el Lema de Shephard: h(p,u) = ∇_p e(p,u).

h(p,u) = \arg\min_{x \geq 0} \{ p \cdot x : U(x) \geq u \} = \nabla_p e(p,u)

Ecuacion de Slutsky

Micro

Descomposicion del efecto total de un cambio de precio en efecto sustitucion (hicksiano) y efecto ingreso: ∂x_i*/∂p_j = ∂h_i/∂p_j − x_j*(∂x_i*/∂m). El primer termino es el efecto sustitucion compensado (siempre negativo para i=j) y el segundo es el efecto ingreso. La matriz de Slutsky S con entradas s_ij = ∂h_i/∂p_j es simetrica (s_ij = s_ji) y semidefinida negativa.

\frac{\partial x_i^*}{\partial p_j} = \underbrace{\frac{\partial h_i}{\partial p_j}}_{\text{efecto sustitucion}} - \underbrace{x_j^* \frac{\partial x_i^*}{\partial m}}_{\text{efecto ingreso}}

Funcion de Gasto

Micro

Funcion e(p,u) que da el gasto minimo necesario para alcanzar el nivel de utilidad u dado el vector de precios p: e(p,u) = min_{x} {p·x : U(x) ≥ u}. Es no decreciente, homogenea de grado uno y concava en p, y no decreciente en u. La demanda hicksiana se obtiene como su gradiente en p (Lema de Shephard). Es la inversa de la funcion indirecta de utilidad: e(p, V(p,m)) = m.

e(p,u) = \min_{x \geq 0} \{ p \cdot x : U(x) \geq u \} = p \cdot h(p,u)

Funcion Indirecta de Utilidad

Micro

Funcion V(p,m) que da el nivel maximo de utilidad alcanzable dado el vector de precios p y el ingreso m: V(p,m) = max_{x} {U(x) : p·x ≤ m}. Es no creciente en cada p_i, no decreciente en m, homogenea de grado cero en (p,m), y cuasiconvexa en p. La demanda marshalliana se recupera via la Identidad de Roy: x_i*(p,m) = -[∂V/∂p_i]/[∂V/∂m]. Es la inversa de la funcion de gasto: V(p, e(p,u)) = u.

V(p,m) = \max_{x \geq 0} \{ U(x) : p \cdot x \leq m \}

Identidad de Roy

Micro

Resultado que permite recuperar la demanda marshalliana como cociente de derivadas parciales de la funcion indirecta de utilidad: x_i*(p,m) = -[∂V(p,m)/∂p_i] / [∂V(p,m)/∂m]. Es consecuencia directa del Teorema del Sobre aplicado al problema primal del consumidor. Su analogia en la teoria de la firma es el Lema de Hotelling.

x_i^*(p,m) = -\frac{\partial V(p,m)/\partial p_i}{\partial V(p,m)/\partial m}

Lema de Hotelling

Micro

Resultado de dualidad en la teoria de la firma: la funcion de oferta del producto y las demandas de insumos se obtienen como derivadas parciales de la funcion de beneficios π(p,w) respecto al precio del producto y a los precios de los insumos, respectivamente. Formalmente, ∂π/∂p = y*(p,w) y ∂π/∂(-w_i) = z_i*(p,w). Es la analogia exacta del Lema de Shephard en la funcion de costos.

y^*(p,w) = \frac{\partial \pi(p,w)}{\partial p}, \quad z_i^*(p,w) = -\frac{\partial \pi(p,w)}{\partial w_i}

Lema de Shephard

Micro

Resultado de dualidad que establece que la demanda compensada (hicksiana) se obtiene como el gradiente de la funcion de gasto respecto a los precios: h_i(p,u) = ∂e(p,u)/∂p_i. Es consecuencia directa del Teorema del Sobre aplicado al problema de minimizacion de gasto. Su analogo en la teoria de la firma es: la demanda condicionada del insumo i se obtiene como ∂C(w,q)/∂w_i. Requiere que e(p,u) sea diferenciable en p.

h_i(p,u) = \frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i}

Pregunta Central

¿Cómo se relacionan la demanda Marshalliana y la demanda Hicksiana?

🕸️ Mapa de Conexiones

📚 Ruta de Aprendizaje

Utilidad
Slutsky
Dualidad

Sugerimos estudiar estos modelos en orden para una comprensión completa.

🔗 Modelos Relacionados

Ecuación de SlutskyExtiende

La dualidad formaliza la relación entre demandas Marshalliana y Hicksiana usadas en Slutsky

Preferencias y UtilidadDeriva de

La dualidad se deriva del problema de optimización del consumidor

Optimización con Lagrangemath-foundation

La dualidad del consumidor se fundamenta en el método de Lagrange

💡 Conceptos Clave

🎯Optimización

Proceso de encontrar la mejor decisión dadas las restricciones

También en:
UtilidadElección ConsumidorSlutsky
⚖️Equilibrio

Estado donde las fuerzas del mercado están balanceadas y no hay tendencia al cambio

También en:
UtilidadElección ConsumidorO&D

📐 Ecuaciones Fundamentales

Utilidad Indirecta
Máxima utilidad alcanzable dado el presupuesto
V(p_x, p_y, M) = \max U(x,y) \text{ s.a. } p \cdot x \leq M
Función de Gasto
Mínimo gasto para alcanzar utilidad objetivo
e(p_x, p_y, \bar{U}) = \min p \cdot x \text{ s.a. } U(x,y) \geq \bar{U}
Identidad de Roy
Demanda Marshalliana desde la utilidad indirecta
x_i = -\frac{\partial V / \partial p_i}{\partial V / \partial M}
Lema de Shephard
Demanda Hicksiana desde la función de gasto
h_i = \frac{\partial e}{\partial p_i}

✅ Aplicaciones

  • •Variación compensatoria y equivalente
  • •Medición del bienestar ante cambios de precios
  • •Cálculo de índices de costo de vida

⚠️ Limitaciones

  • •Requiere preferencias bien comportadas
  • •Difícil estimación empírica de funciones de gasto
  • •Asume información perfecta

Sobre la Dualidad en Teoria del Consumidor

¿Y si en lugar de maximizar felicidad, minimizamos costo? La dualidad demuestra que ambos caminos llevan al mismo resultado. Este es uno de los resultados mas elegantes y profundos de la teoria microeconomica: el problema de maximizar utilidad sujeto a un presupuesto (problema primal) y el problema de minimizar el gasto necesario para alcanzar un nivel de utilidad dado (problema dual) son dos caras de la misma moneda. La importancia practica es enorme — la dualidad conecta funciones no observables (utilidad) con magnitudes observables (gasto, demanda), simplificando tanto el analisis teorico como la estimacion empirica.

Problema Primal (Max U)

Maximizar utilidad sujeto a la restriccion presupuestaria. Genera las demandas Marshallianas y la utilidad indirecta.

  • • max U(x) sujeto a p·x ≤ M
  • • Solucion: x*(p, M) — demandas Marshallianas
  • • V(p, M) = U(x*(p, M)) — utilidad indirecta
  • • Identidad de Roy: x* = -(∂V/∂p) / (∂V/∂M)

Problema Dual (Min Gasto)

Minimizar gasto sujeto a alcanzar un nivel de utilidad dado. Genera las demandas Hicksianas y la funcion de gasto.

  • • min p·x sujeto a U(x) ≥ ū
  • • Solucion: h(p, ū) — demandas Hicksianas (compensadas)
  • • e(p, ū) = p·h(p, ū) — funcion de gasto
  • • Lema de Shephard: h = ∂e/∂p

Relaciones Fundamentales

Las soluciones de ambos problemas estan conectadas por identidades exactas:

V(p, e(p, ū)) = ū
e(p, V(p, M)) = M
x*(p, M) = h(p, V(p, M))

La primera dice que si gastas lo minimo para alcanzar ū, efectivamente alcanzas ū. La segunda dice que si maximizas utilidad con M, el gasto minimo para esa utilidad es exactamente M. La tercera muestra que las demandas Marshallianas y Hicksianas coinciden cuando se evaluan consistentemente.

¿Por Qué Importa la Dualidad?

Simplifica Calculos

A veces es mas facil resolver el problema dual que el primal (o viceversa). La dualidad garantiza que la solucion de uno da la solucion del otro. Por ejemplo, con utilidades CES, el problema dual tiene solucion cerrada mas limpia.

Conecta lo Observable con lo No Observable

La utilidad no es observable, pero el gasto si. La funcion de gasto y las demandas Hicksianas permiten hacer analisis de bienestar usando datos observables de precios y cantidades, sin necesidad de conocer la funcion de utilidad directamente.

Ecuacion de Slutsky

La dualidad fundamenta la ecuacion de Slutsky, que descompone el efecto de un cambio de precio en efecto sustitucion (movimiento a lo largo de la curva de indiferencia) y efecto ingreso (cambio en poder adquisitivo):

∂x*/∂p = ∂h/∂p - x* · (∂x*/∂M)

Aplicaciones en Economia

  • Estimacion de demanda compensada: Las demandas Hicksianas, derivadas de la funcion de gasto, permiten calcular variaciones compensatoria y equivalente para evaluar el bienestar ante cambios de politica.
  • Evaluacion de bienestar: La variacion compensatoria (VC) y la variacion equivalente (VE) usan la funcion de gasto para medir el impacto en bienestar de cambios de precios en unidades monetarias.
  • Diseño de impuestos: La carga excesiva de un impuesto se mide comparando la recaudacion con la perdida de bienestar usando demandas compensadas.
  • Teoria de la revelacion: La dualidad es la base para recuperar preferencias a partir de datos de demanda observada (integrabilidad).

Limitaciones

  • Requiere preferencias continuas, monotónicas y convexas
  • Asume precios constantes (no captura poder de mercado)
  • La funcion de gasto no existe si las preferencias no son bien comportadas
  • Demandas Hicksianas no son directamente observables
  • La agregacion de resultados individuales requiere supuestos adicionales

Referencias Clave

  • • Deaton, A. & Muellbauer, J. (1980). Economics and Consumer Behavior. Cambridge University Press.
  • • Varian, H. (2014). Microeconomic Analysis, 3rd Ed. Capitulos 7-8.
  • • Mas-Colell, A., Whinston, M. & Green, J. (1995). Microeconomic Theory. Capitulo 3.
  • • Jehle, G. & Reny, P. (2011). Advanced Microeconomic Theory, 3rd Ed. Capitulo 1.

Conceptos Relacionados

Utilidad

El problema primal: maximizar la funcion de utilidad sujeto a restriccion presupuestaria.

Ecuacion de Slutsky

Usa la demanda Hicksiana del dual para descomponer efectos de precio.

Eleccion del Consumidor

La solucion grafica del primal: tangencia entre curva de indiferencia y restriccion.