Una funcion f: R^n → R es concava si para todo x, y en su dominio y todo t ∈ [0,1] se cumple f(tx + (1-t)y) ≥ tf(x) + (1-t)f(y); es convexa si la desigualdad se invierte. En R, concavidad equivale a f'' ≤ 0. Para funciones diferenciables, la concavidad es equivalente a que el Hessiano sea semidefinido negativo (convexidad: semidefinido positivo). Las funciones concavas tienen maximos globales bien definidos bajo condiciones de cuasi-concavidad, propiedad central en la teoria del consumidor y del productor.

Condiciones necesarias (y bajo convexidad-concavidad, tambien suficientes) para optimalidad en problemas de optimizacion con restricciones de desigualdad. Para max f(x) s.a. g_j(x) ≤ 0, las condiciones KKT exigen: (i) factibilidad primal, (ii) factibilidad dual (mu_j ≥ 0), (iii) condicion de complementariedad holgazana (mu_j · g_j(x) = 0) y (iv) estacionariedad (∇f = Σ mu_j ∇g_j). Generalizan las condiciones de Lagrange al caso de desigualdades y constituyen el nucleo del calculo de variaciones y la programacion matematica.

Condiciones necesarias para un extremo interior de una funcion diferenciable: en dimension uno, f'(x*) = 0; en dimension n, ∇f(x*) = 0. Para problemas con restricciones de igualdad se obtienen igualando a cero las derivadas parciales del Lagrangiano. Las CPO identifican candidatos a optimo (puntos criticos) pero no garantizan optimalidad; se requieren adicionalmente condiciones de segundo orden o hipotesis de concavidad/convexidad global.

Condiciones que determinan la naturaleza de un punto critico (maximo, minimo o punto de silla). Para funciones de una variable: f''(x*) < 0 indica maximo local, f''(x*) > 0 minimo local. Para funciones de varias variables: se analiza el signo del Hessiano evaluado en el punto critico. En problemas con restricciones, se utiliza el Hessiano orlado: el signo de los menores principales bordeados determina si el punto es un maximo o minimo condicionado.

Vector de todas las derivadas parciales de primer orden de una funcion diferenciable f: R^n → R. El gradiente ∇f(x) apunta en la direccion de maximo crecimiento de f en el punto x, y su magnitud es la tasa de cambio en esa direccion. En optimizacion sin restricciones, el gradiente nulo es condicion necesaria para un extremo interior (CPO). En el teorema de la envolvente, el gradiente del Lagrangiano respecto a los parametros mide como cambia el valor optimo. El metodo del gradiente (steepest ascent/descent) es un algoritmo iterativo fundamental para maximizacion/minimizacion numerica.

Matriz cuadrada de las derivadas parciales de segundo orden de una funcion dos veces diferenciable f: R^n → R. El elemento (i,j) del Hessiano es ∂²f/∂x_i∂x_j. Por el teorema de Schwarz, el Hessiano es simetrico cuando las derivadas cruzadas son continuas. En el contexto de optimizacion sin restricciones, el signo del Hessiano evaluado en un punto critico determina si este es un maximo (Hessiano definido negativo), minimo (definido positivo) o punto de silla (indefinido). El Hessiano es la segunda diferencial de f y generaliza el concepto escalar de segunda derivada.

Matriz aumentada que incorpora las restricciones de igualdad en el analisis de condiciones de segundo orden para problemas de optimizacion condicionada. Para el problema max f(x) s.a. g(x) = c, el Hessiano orlado es H_orl = [[0, ∇g'], [∇g, H_L]], donde H_L es el Hessiano del Lagrangiano. Los signos de los menores principales bordeados de orden superior al rango de restricciones determinan si el punto es un maximo o un minimo condicionado. Esta herramienta permite verificar las CSO en problemas de eleccion del consumidor, del productor y de portafolio.

Funcion auxiliar utilizada en optimizacion con restricciones de igualdad. Incorpora las restricciones al objetivo mediante multiplicadores lambda denominados precios sombra o multiplicadores de Lagrange. L(x, lambda) = f(x) - Σ lambda_j g_j(x). Las condiciones de primer orden del Lagrangiano (igualar a cero todas las derivadas parciales respecto a x y lambda) caracterizan los candidatos a optimos interiores. Los multiplicadores tienen interpretacion economica directa: lambda_j mide el incremento en el valor optimo de la funcion objetivo ante una relajacion marginal (dε) de la j-esima restriccion, conectando con el teorema del sobre.

Disciplina matematica que estudia los procedimientos para encontrar los valores de variables de decision que maximizan o minimizan una funcion objetivo, posiblemente sujeta a restricciones. El problema canonico es: max f(x) s.a. g_j(x) ≤ 0 (j=1,...,m), h_k(x) = 0 (k=1,...,p). La distincion entre problemas convexos (donde CPO son suficientes para optimo global) y no convexos (multiples optimos locales) es fundamental. En economia, la optimizacion modela la maximizacion de utilidad del consumidor, la maximizacion de beneficios del productor y la minimizacion de costos, constituyendo el microfundamento de toda la teoria economica moderna.

Regla de diferenciacion para la composicion de funciones: si h(t) = f(g(t)) entonces h'(t) = f'(g(t)) · g'(t). En varias variables, si z = f(x_1(t),...,x_n(t)) entonces dz/dt = Σ (∂f/∂x_i)(dx_i/dt) = ∇f · x'(t). Es indispensable en economia para derivar funciones de valor (envolvente), calcular efectos totales en equilibrios generales, obtener las ecuaciones de Euler en control optimo, y para la delta method en econometria (derivar la distribucion asintotica de transformaciones no lineales de estimadores consistentes).

Resultado que describe como cambia el valor optimo de un problema de optimizacion parametrico cuando varian los parametros exogenos. Para V(alpha) = max f(x, alpha) s.a. g(x, alpha) = 0, el teorema establece que dV/dalpha = ∂L/∂alpha evaluado en el optimo (x*(alpha), lambda*(alpha)), sin necesidad de calcular dx*/dalpha. En microeconomia, implica que el efecto de precios sobre la funcion de gasto es la demanda hicksiana (Shephard's Lemma), que la derivada de la funcion de beneficios respecto al precio del producto es la oferta optima (Hotelling's Lemma), y que los multiplicadores de Lagrange miden precios sombra de las restricciones.

El valor de la mejor alternativa sacrificada al tomar una decision. Incorpora tanto costos explicitos (desembolsos monetarios) como costos implicitos (beneficios no percibidos de usos alternativos de los recursos). El costo de oportunidad es el verdadero costo economico de cualquier accion y no esta necesariamente registrado en la contabilidad financiera. Es el fundamento conceptual de la escasez y la eleccion racional: en cada decision, el agente economico compara el valor de lo que obtiene con el valor de lo que renuncia.