La derivada de una funcion f: R → R en un punto x_0 es el limite del cociente incremental cuando el incremento tiende a cero: f'(x_0) = lim_{h→0} [f(x_0+h) - f(x_0)] / h, siempre que dicho limite exista. Mide la tasa instantanea de cambio de f en x_0 y corresponde geometricamente a la pendiente de la recta tangente. En economia, las derivadas aparecen como costos marginales, utilidades marginales y productos marginales, capturando el efecto de variaciones infinitesimales en los argumentos de una funcion.

Derivada de una funcion de varias variables respecto a uno de sus argumentos, manteniendo constantes todos los demas. Para f: R^n → R, la derivada parcial respecto a x_i es ∂f/∂x_i = lim_{h→0} [f(x + h·e_i) - f(x)] / h, donde e_i es el i-esimo vector unitario. Mide la sensibilidad de f ante variaciones marginales en x_i. El vector de todas las derivadas parciales forma el gradiente. En economia, las derivadas parciales modelan el producto marginal de cada factor, la utilidad marginal de cada bien, o la respuesta de una variable a cambios en sus determinantes.

Vector de todas las derivadas parciales de primer orden de una funcion diferenciable f: R^n → R. El gradiente ∇f(x) apunta en la direccion de maximo crecimiento de f en el punto x, y su magnitud es la tasa de cambio en esa direccion. En optimizacion sin restricciones, el gradiente nulo es condicion necesaria para un extremo interior (CPO). En el teorema de la envolvente, el gradiente del Lagrangiano respecto a los parametros mide como cambia el valor optimo. El metodo del gradiente (steepest ascent/descent) es un algoritmo iterativo fundamental para maximizacion/minimizacion numerica.

Operacion fundamental del calculo que generaliza la nocion de suma acumulada. La integral indefinida (antiderivada) de f es la funcion F tal que F' = f, determinada salvo una constante aditiva. La integral definida de Riemann de f sobre [a,b] es el limite de sumas de Riemann cuando la particion se refina infinitamente. El Teorema Fundamental del Calculo vincula ambos conceptos: ∫_a^b f(x)dx = F(b) - F(a). En economia, las integrales calculan areas bajo curvas (excedentes del consumidor y productor, ingresos totales), distribuciones de ingreso (coeficiente de Gini) y problemas de control optimo continuo.

Regla de diferenciacion para la composicion de funciones: si h(t) = f(g(t)) entonces h'(t) = f'(g(t)) · g'(t). En varias variables, si z = f(x_1(t),...,x_n(t)) entonces dz/dt = Σ (∂f/∂x_i)(dx_i/dt) = ∇f · x'(t). Es indispensable en economia para derivar funciones de valor (envolvente), calcular efectos totales en equilibrios generales, obtener las ecuaciones de Euler en control optimo, y para la delta method en econometria (derivar la distribucion asintotica de transformaciones no lineales de estimadores consistentes).